O GPS do seu celular precisa de, no mínimo, quatro satélites para funcionar com precisão, e não três, como a lógica da triangulação sugere. A razão para o quarto satélite é surpreendente: ele não serve para encontrar sua posição, mas para corrigir o tempo.
O princípio básico da trilateração em 3D
Para entender o GPS, imagine que cada satélite no espaço está no centro de uma esfera invisível. A distância entre você e o satélite é o raio dessa esfera. O sinal de um único satélite informa ao seu receptor que você está em algum ponto da superfície dessa imensa esfera, veja abaixo o vídeo do canal Ciência Todo Dia:
Com um segundo satélite, as duas esferas se cruzam, formando um círculo perfeito. Seu receptor agora sabe que sua localização está em algum lugar desse círculo. Com um terceiro satélite, a terceira esfera cruza esse círculo em apenas dois pontos, o que já oferece uma posição geográfica aproximada (um dos pontos geralmente é descartado por ser ilógico, como no meio do espaço).
O problema do tempo: o relógio do seu celular está “errado”
Se três satélites já nos dão uma localização, por que precisamos de um quarto? A resposta está na precisão do tempo. Os satélites do sistema GPS são equipados com relógios atômicos extremamente precisos, mas o relógio de quartzo do seu smartphone ou carro é muito mais simples e impreciso.
O GPS calcula a distância medindo o tempo que o sinal de rádio leva para viajar do satélite até o receptor. Como a velocidade da luz é altíssima, uma diferença de um microssegundo (um milionésimo de segundo) no tempo pode gerar um erro de 300 metros na sua localização. A imprecisão do seu relógio torna os cálculos de distância dos três primeiros satélites inúteis.
O quarto satélite é o mestre do tempo e da altitude
É aqui que entra o quarto satélite. Ele fornece uma quarta medida de distância, que também está “errada” devido ao relógio impreciso do seu receptor. No entanto, o software do seu GPS é genial: ele sabe que a única maneira de todas as quatro medições fazerem sentido matemático é se houver um erro de tempo específico.
O receptor então resolve uma equação complexa com quatro variáveis: latitude (X), longitude (Y), altitude (Z) e o erro de tempo (T). Ao usar o quarto satélite para descobrir e corrigir o erro do seu relógio, ele consegue recalcular as distâncias dos outros três com precisão atômica. O processo para uma localização precisa é:
- Satélite 1: Define uma esfera de localização possível.
- Satélite 2: Reduz as possibilidades para um círculo.
- Satélite 3: Reduz as possibilidades para dois pontos, dando uma localização 2D imprecisa.
- Satélite 4: Resolve a variável do tempo, corrige os erros de distância e confirma um único ponto no espaço 3D (latitude, longitude e altitude).
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A relatividade de Einstein e a precisão do GPS
A precisão do GPS é uma das provas práticas mais impressionantes da Teoria da Relatividade de Albert Einstein. Os relógios atômicos nos satélites, por estarem em alta velocidade e em um campo gravitacional mais fraco, correm ligeiramente mais rápido do que os relógios na Terra.
Sem as correções previstas pelas teorias da relatividade especial e geral, o sistema GPS acumularia um erro de cerca de 10 quilômetros por dia, tornando-o completamente inútil. É uma prova de que a física teórica tem aplicações muito práticas em nosso dia a dia.
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